一元四次方程的求根公式推导，运用配方法，保准你没有见过

发表日期：2024-08-31 10:15:11

不用再为解一般的一元四次方程烦恼了，因为老黄已经帮你找到了一般的方法——配方法，最后还推出了解一元四方程的公式。过程复杂，多余的话就不说了，直入主题：

用老黄这个方法解一般的一元四次方程：x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，要先把它化成x^4+cx^2+dx+e=0，就是三次项系数等于0的形式，或称为缺失三次项的形式。

具体的转化方法是运用换元法，记x=t-α (α是常数)，只要我们能求得t，自然也就能求得x。然后把x=t-α代入原方程，可以得到：

(t-α)^4+b(t-α)^3+c(t-α)^2+d(t-α)+e=0，将这个关于t的四次方程展开，三次项的系数是4α+b, 只要α=-b/4，那么这个关于t的四次方程的三次项系数就等于0，从而得到一个缺失三次项的关于t的四次方程。

现在我们只要解x^4+cx^2+dx+e=0这个形式的四次方程，就可以实现解任意一元四次方程了。下面我们称它为“可解形式”。

四次方程有四个根，记为x1, x2, x3, x4，其中任意两个根，都可以看作是一个二次方程的根，剩下两个根又是另一个二次方程的根。因此，任意四次方程都可以化作关于x的方程：(x^2+px+q)(x^2+sx+t)=0的形式。我们设二次多项式A和一次多项式B，使A+B=x^2+px+q，A-B=x^2+sx+t，就可以求得多项式A和B。因此任意四次方程又可以化为A^2-B^2=0的形式。

对可解形式来说，由于三次项的系数为0，因此A必为x^2+h的形式， B必为r(x+k)的形式。其中h, k, r都是常数。否则就一定会出现三次项的系数不为0的情况，产生矛盾。从而，我们可以将任意可解形式配方成(x^2+h)^2-r(x+k)^2=0的形式。

将配方的形式展开，得x^4+(2h-r)x^2-2rkx+h^2-rk^2=0. 因此得到关于h,k,r的三元方程组：

转化方程组可以得到一个关于r的三次方程，r^3+2cr^2+(c^2-4e)r-d^2=0. 而三次方程是有现成的公式可以运用的。这里会有三个r值。它们分别对应着，确定x^2+px+q=0的一个根，如x1后，另一个根是x2, x3, 或x4三种情况。换句话说，我们取任意一个r值，最后都能得到原方程的四个根。所以我们就取最简单的那个：